Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan logaritma yang mengandung unsur fungsi tertentu. Persamaan ini mengandung beberapa bentuk diantaranya:

Bentuk $^alog f(x) = b$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = a^b$ . Dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1. Sebagai contoh, $^xlog(3x + 10) = 2$ , maka:

$^xlog(3x + 10) = 2 rightarrow 3x + 10 = x^2$

Dari persamaan kuadrat tersebut dapat diketahui akar-akarnya sebagai penyelesaian:

$3x + 10 = x^2 rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x - 5)(x + 2) = 0$

$x_1 = 5$ dan $x_2 = -2$

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Jarak Titik ke Garis, Garis ke Bidang, dsb

Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk $^alog f(x) = ^alog b$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi f(x) = b dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan b > 0. Sebagai contoh, $log(x^2 - 1) = log 8$ diubah bentuk menjadi:

$x^2 - 1 = 8$

$x^2 = 9$

Akar-akarnya adalah:

$x_1 = 3$ dan $x_2 = -3$

Bentuk $^alog f(x) = ^alog g(x)$

Dengan bentuk seperti itu, maka persamaan dapat diubah bentuknya menjadi $f(x) = g(x)$ . Dengan syarat a > 0, a ≠ 1 dan $f(x)$ > 0 dan $g(x)$ > 0. Sebagai contoh:

$log(x^2 - 1) - log(x - 1) = 1 + log(x - 8)$ ,

Menjadi:

$log(x^2 - 1) - log(x - 1) = log 10 + log(x - 8)$

$log(frac{x^2 - 1}{x - 1}) = log10(x - 8)$

$frac{x^2 - 1}{x - 1} = 10(x-8)$

$frac{(x - 1)(x + 1)}{x -1} = 10(x-8)$

$(x + 1) = 10x - 80$

$9x = 81$

Sehingga:

$x = 9$

Bentuk $a(^plog(x))^2 + b(^plog f(x)) + c = 0$

Persamaan logaritma ini dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan $^plog f(x) = y$ . Sehingga membentuk persamaan baru:

$a(y)^2 + b(y) + c = 0$

Dari persamaan tersebut akan diperoleh penyelesaian fungsi y, kemudian bisa disubstitusikan kedalam $^plog f(x) = y$ untuk mendapatkan penyelesaian fungsi x. Sebagai contoh:

$^2log x((^2log x) - 3) = ^2 log 16$

Misalkan $^2log x = y$ , maka persamaan barunya:

$^2log x((^2log x)- 3) = ^2log 16$

$y(y -3) = ^2log 2^4$

$y(y - 3) = 4$

$y^2 - 3y = 4$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

$(y - 4)( y + 1) = 0$

Akar-akarnya:

$y_1 = 4$ dan $y_2 = -1$

Sehingga diperoleh nilai x dari akar-akar y yaitu:

$y_1 = 4$

$^2 log x = 4$

$x = 2^4 = 16$

$y_2 = -1$

$^2 log x = -1$

$x = 2^{-1} = frac{1}{2}$

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika $^alog f(x) < ^a log g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$

Jika $^alog f(x) > ^alog g(x)” title=”^alog f(x) > ^alog g(x)” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , maka $f(x) > g(x) > 0″ title=”f(x) > g(x) > 0″ class=”latex” /></li><li>Jika <img decoding=$

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

$^2log(2x + 1) < ^2log 3$

Berubah bentuk menjadi:

$2x + 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika $^alog f(x) < ^alog g(x)$ , maka $0 < f(x) < g(x)$ . Sehingga:

$0 < (2x+1) < 3$

$-1 < (2x) < 2$

$-frac{1}{2} < x < 1$

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan $y = ^a log x$ . Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

$(2 log x-1)(frac{1}{^xlog 10}) > 1″ title=”(2 log x-1)(frac{1}{^xlog 10}) > 1″ class=”latex” />Diubah menjadi: 1″ title=”(2 log x – 1)(log x) > 1″ class=”latex” /> 0″ title=”2 log^2 x – log x – 1 > 0″ class=”latex” />Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi: 0″ title=”2y^2 – y – 1 > 0″ class=”latex” /><p style=$ $(2y + 1)(y - 1)$

Akar-akarnya adalah :

$y_1 = -frac{1}{2}$ dan $y_2 = 1$

Maka nilai x adalah:

$y_1 = -frac{1}{2}overset{maka}{rightarrow}-frac{1}{2} = log x$

$x_1 = 10^{-frac{1}{2}} = frac{1}{sqrt{10}}$

$y_2 = 1overset{maka}{rightarrow}1 = log x$

$x_2 = 10$

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah:

$0 < x < frac{1}{sqrt{10}}$ atau $x > 10″ title=”x > 10″ class=”latex” /><h2>Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma</h2>Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:<ul><li>Jika <img decoding=$ dengan $a$ > 0, maka $-a$ < x < $a$

Jika $mid x mid > a” title=”mid x mid > a” class=”latex” /> dengan <img decoding=$ > 0, maka x < $-a$ atau x > $a$

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:

$mid ^3log (x+1)mid < 2$

Berdasarkan sifat $bar x bar < a$ , maka:

$-2 < ^3log(x+1) < 2$

$^3log(frac{1}{9}) < ^3log(x+1) < ^3log(x+1) < ^3log 9$

$frac{1}{9} < x + 1 < 9$

$-frac{8}{9} < x < 8$

Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Persamaan Logaritma

Tentukan penyelesaian dari $^2log(2x - 3) - ^4log(x - ^3/_2) = 1$ (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

$^2log(2x - 3) - ^4log(x - ^3/_2) = 1$

$^2log(2x - 3) - frac{1}{2}(^2log(frac{2x-3}{2})) = 1$

$^2log(2x - 3) - (frac{1}{2}^2log(2x - 3)) - (-frac{1}{2}^2log 2) = ^2log 2$

$frac{1}{2}^2log(2x - 3) = frac{1}{2}^2log 2$

$^2log (2x - 3) = ^2 log 2$

$2x - 3 = 2$

$x = 2,5$

Contoh Soal 2: Persamaan Logaritma

Tentukan nilai x dari persamaan $log(frac{3x+1}{100}) = ^{3x+1}log 1000$ (UMPTN ’93)

Pembahasan 2:

$log(frac{3x+1}{100}) =^{3x+1}log 1000$

$log(3x+1) - log(100) = frac{1}{^{1000}log(3x+1)}$

$log(3x+1) - log(10)^2 = frac{1}{^{10^3}log(3x+1)}$

$log(3x + 1) - 2 = frac{1}{frac{1}{3}log(3x+1)}$

$log(3x+1) - 2 = frac{3}{log(3x+1)}$

Misalkan $y = log(3x+1)$ , maka persamaannya:

$y - 2 = frac{3}{y}$

$y^2 - 2y = 3$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

$(y - 3)(y + 1) = 0$

Akarnya adalah $y_1 = 3$ ,namun $y_2 = -1$ tidak bisa jadi penyelesaian karena bernilai negatif.

Sehingga:

Jika $y_1 = 3 overset{maka}{rightarrow}3 = log(3x+1)$

$log(1000) = log(3x+1)$

$1000 = 3x+1$

$x = frac{999}{3} = 333$

Contoh Soal 3: Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan $2log(x+1) le log(x+4) + log 4$ adalah (UMPTN ’96)

Pembahasan 3:

$2log(x+1) le log(x+4) + log 4$

$log(x+1)^2 lelog 4(x+4)$

$(x+1)^2 le 4(x+4)$

$x^2 + 2x + 1 le 4x + 16$

$x^2 - 2x - 15 le 0$

$(x - 5)(x + 3) le 0$

Akar-akarnya adalah $x_1 = 5$ dan $x_2 = -3$ . Sehingga intervalnya:

$-3 le x le 5$

Namun ada syarat yaitu:

$(x + 1)^2 > 0″ title=”(x + 1)^2 > 0″ class=”latex” /><p style=$ x < -1 atau x < -1

Garis bilangannya adalah:

pembahasan pertidaksamaan

Maka penyelesaiannya adalah:

$-1 < x le 5$

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

Sudut Istimewa Sin Cos Tan

Integral

Pengertian Matriks, Jenis-jenis, Ordo